Чтение онлайн

Под влиянием вязкости колебания струи будут затухать. Если задача заключается в отыскании закона убывания амплитуды, то при малом коэффициенте вязкости это можно приближённо сделать с помощью простого учёта рассеянной энергии. Некоторые авторы 5 считают, что связанные с учётом вязкости поправки к длине волны (или периоду колебаний) в подобном случае могут быть найдены прямо из логарифмического декремента затухания амплитуды волны с помощью формулы T1=T(1+^2/4^2) 1/2 , где T1 — период затухающих колебаний, а T — период незатухающих колебаний. Однако использование такой формулы мне представляется неправильным. Дело в том, что эта формула получена для случая, когда единственное различие уравнений движения для консервативной системы (a^2q/t^2+cq=0) и для неконсервативной системы (a^2q/t^2+bq/t+cq=0) связано с введением диссипативного члена; это справедливо для малых свободных колебаний тела с одной степенью свободы.

5 См.: P. O. Pedersen. Phil. Trans. Roy. Soc., 1907, A207, стр. 346, а также:

Ph. Lenard. Wied. Ann., 1887, XXX, стр. 239, где рассматривается измерение коэффициента поверхностного натяжения воды по методике колебаний капель.

В нашей же задаче коэффициент инерции a не будет одинаковым для двух систем, так как в неконсервативной системе a зависит от коэффициента вязкости (то же самое имеет место и во всех аналогичных проблемах гидродинамики, когда потенциал скорости существует для консервативной, но не существует для неконсервативной системы).

Из последующего будет видно, что в действительности поправки к длине волны пропорциональны не 2, а 3/2.

Чтобы найти изменение длины волны вследствие вязкости, следует рассмотреть вопрос более детально. Подобное исследование было проведено Рэлеем 1 для случая колебаний цилиндра вязкой жидкости под действием капиллярных сил при сохранении симметрии относительно оси цилиндра. Однако последнее условие (симметрия) в указанной работе с самого начала используется в такой форме, что проведенные расчёты нельзя применять к случаю колебаний более общего вида, о которых речь пойдёт ниже. Результаты нашего рассмотрения не охватывают частный случай, исследованный Рэлеем, поскольку для упрощения расчётов не принимались специальные меры предосторожности, обеспечивающие возможность перехода к пределу n=0.

1 Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145.

Общие уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости, свободной от действия внешних сил, имеют вид

^2u-

Du

Dt

=

p

x

,

^2v-

Dv

Dt

=

p

y

,

^2w-

Dw

Dt

=

p

z

,

(1)

u

x

+

v

y

+

w

z

=

0,

(2)

где u, v, w — компоненты скорости, p — давление, — плотность, — коэффициент вязкости и

^2

=

^2

x^2

+

^2

y^2

+

^2

z^2

,

D

Dt

=

t

+u

x

+v

y

+w

z

.

В рассматриваемой задаче движение является стационарным. Положим w=c+. Считая, что u, v и w имеют вид f(x,y)•eibz и достаточно малы, чтобы при расчётах можно было пренебречь их произведениями (и величинами того же порядка), из уравнений (1) получаем

^2-ib

c

u

=

1

p

x

,

^2-ib

c

v

=

1

p

y

,

^2-ib

c

=

1

p

z

.

(3)

Из уравнений (3) и (2) следует

^2p=0.

(4)

Полагая

u

=

i

cb

p

x

+

u

1

,

v

=

i

cb

p

y

+

v

1

,

=

i

cb

p

z

+

1

,

(5)

получаем

^2-ib

c

u

1

=0

,

^2-ib

c

v

1

=0

,

^2-ib

c

1

=0

,

(6)

и

u1

x

+

v1

y

+

1

z

=0

.

(7)

Введём полярные координаты r и (x=r cos , y=r sin ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости и . С помощью соотношений

t

=

cos - sin ,

u

=

sin + cos ,

t

1

=

1

cos -

1

sin ,

u

1

=

1

sin +

1

cos ,

x

=

cos

r

–

sin

1

r

,

y

=

sin

r

+

cos

1

r

,

(8)

из равенств (5) получаем

=

i

cb

p

r

+

1

,

=

i

cb

1

r

p

+

1

;

(9)

из уравнений (6) и (7), имея в виду, что ^2=^2/r^2 + (1/r)/r + (1/r^2)^2/^2 + ^2/z^2 находим

^2-ib

c

1

–

1

r^2

–

2

r^2

1

=0,

^2-ib

c

1

–

1

r^2

–

2

r^2

1

=0

(10)