Чтение онлайн

Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам, приведенным на рисунке. В то же время между функциями Вейерштрасса и шумами есть существенное различие. Любая точка функции Вейерштрасса строго детерминирована, а точка на графике шума — случайна.

Такие случайные траектории скорее являются правилом, чем исключением.

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха — и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причем при увеличении масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии. Так, анализ траектории броуновского движения на плоскости показывает, что она имеет фрактальную размерность, равную двум, а фрактальная размерность границы броуновского движения частицы равна 1,33...

Броуновское движение — один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории. Еще в 1828 году шотландский ботаник Роберт Броун (1773-1858) описал, как частички пыльцы самопроизвольно перемещаются в пробирке с водой. Он объяснил свои наблюдения следующим образом:

«Эти чрезвычайно мелкие частицы твердой материи, полученные из органических или неорганических веществ, при растворении в чистой воде или в некоторых других жидкостях демонстрируют движение, для которого я не могу найти объяснения, которое по своей нерегулярности и видимой независимости в большой степени напоминает менее быстрые движения некоторых из простейших микроорганизмов. Эти мельчайшие наблюдаемые частицы перемещаются, я назвал их „активными молекулами", видимо, имеют сферическую или почти таковую форму и размер между 1/20000 и 1/30000 долями дюйма в диаметре; а другие частицы значительно большего и различного размера как подобных, так и очень отличающихся форм также демонстрируют аналогичные движения в подобных обстоятельствах. Я уже заявлял о своей уверенности в том, что эти движения частиц не являются ни результатом течений жидкости, содержащей их, ни внутреннего движения, сопровождающего ее испарение».

Вряд ли уместно пересказывать здесь те презабавные истории, которые породила причудливая пляска частиц цветочной пыльцы под микроскопом. Какие только фантастические интерпретации ни предлагались — от живых молекул, наделенных свободой воли, до прямого вмешательства сверхъестественных сил. Достаточно сказать, что когда Броун кипятил, замораживал и вновь нагревал жидкость, частицы все так же продолжали свою безумную пляску, весьма напоминающую столпотворение. Появилось объяснение: движение происходит из-за случайных колебаний водных молекул, бомбардирующих зерна пыльцы с различных направлений. Это тривиальное толкование скрывает самое интересное — то, что нашел Жан Батист Перрен. В своей известной работе «Les Atomes» он описал эффект самоподобия броуновских траекторий:

«И величина, и направление видимой средней скорости частицы изменяются самым безумным образом, что дает лишь слабое представление об изумительной запутанности реальной траектории. Если бы положения частицы регистрировались в 100 раз чаще, то вместо каждого отрезка прямой мы получили бы ломаную, столь же сложную, как и исходный рисунок, хотя и меньших размеров, и так далее. Нетрудно убедиться, что на практике понятие касательной в применении к таким кривым является полной бессмыслицей».

Масштабное самоподобие! Под микроскопом типичная траектория частицы пыльцы выглядит как изломанная лента из прямых звеньев. Но стоит только увеличить разрешение микроскопа, как каждый прямой участок превратится в новое скопление прямых звеньев. И это новое скопление будет подобно скоплению, зафиксированному на более грубом масштабе.

С появлением компьютеров стало возможным не только фиксировать стохастическое поведение в природе, но и моделировать стохастические процессы. Для этого применяются компьютерные генераторы случайных чисел, которые используют различные алгоритмы. Для примера опишем два.

Генератор случайных чисел RND (от англ. random — случайный, беспорядочный), хотя и подчиняется вполне определенному алгоритму, «вырабатывает» числа, которые можно считать случайными.

На первом этапе выбираем 4 случайных числа, например 1, 2, 3,4, и составляем из них число 4321. На этом все случайное в этом процессе заканчивается. Теперь возведем это число в квадрат, получим 18671041 и отбросим крайние числа. Останется четырехзначное число 6710. Для получения третьего числа в квадрат возводится число, полученное на предыдущем этапе После шестого шага результат — выборка из четырех цифр — подчиняется нормальному закону распределения случайных величин. Заметим, вопреки тому, что весь процесс строго детерминирован, его результат неотличим от случайного выбора или «выбрасывания» числа по случаю.

Другой часто используемый генератор случайных чисел, FRAC (от англ. fraction — доля, дробный), в качестве случайного числа «вырабатывает» дробную часть некоего рекуррентного алгебраического выражения, такого, например, как

Параметр х — выражение вещественного типа. Результат — дробная часть x, то есть

Как логически следует из принципа действия оператора FRAC, полученное число больше или равно 0 и меньше 1.

Таким образом, очевидно, что числа, полученные нами в результате применения функций RND и FRAC, имеют одинаковый масштаб и ни одно из них не выделяется из ряда других и не выглядит небоскребом «Тайбей 101» в квартале одноэтажных халуп. Согласно центральной предельной теореме, сумма достаточно большого количества полученных случайных или псевдослучайных чисел будет иметь нормальное или близкое к нормальному распределение. На практике достаточно суммы всего шести таких чисел, чтобы получить случайную величину, которая может считаться нормальной.

Заметим, что псевдослучайность не лишена эстетической привлекательности. Так, программа MONDRIAN производит отрезки, положение, длина и ориентация которых задаются генератором случайных чисел. Результат — эскиз a la Mondrian, приведенный на соседней странице.

Компьютерный эскиз a la mondrian и работы Питера Мондриана «Буги-Вуги на Бродвее» (1942-1943), «Победа буги-вуги» (1942-1944).

Типовая схема петли обратной связи показана на схеме. Она сводится к изменению переменного параметра х по правилу

при постоянном контролируемом параметре С. Единственное, что при этом требуется, — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон

должен быть более сложным, чем простая пропорциональность