Чтение онлайн

Десятый-двенадцатый классы

В десятом классе заканчиваются два больших раздела учебного плана. Планиметрия увенчивается тригонометрией. Ученики, которым приходилось ранее довольствоваться рассмотрением специальных случаев треугольников и других фигур, теперь с помощью тригонометрических методов, таблиц или логарифмической линейки овладевают всеми возможными вариантами. Особенно большое удовлетворение они получают от непосредственного применения на деле, скажем, в геодезии, результатов своих измерений. Например, они сами видят на занятиях, как с помощью теодолита получают точные значения углов для сетки опорных треугольников, благодаря которым будущая карта обретает точность и стабильность.

Второй раздел вводит в логарифмы. Отрицательные числа, дроби и нуль ставят новые задачи при исчислении степеней. Все время возникает вопрос, работают ли «старые» арифметические правила и в новой области, которой теперь отважились заняться. Оказывается, работают. И более того: арифметические действия обретают расширенную перспективу и одновременно появляется возможность чисто технически справляться с проблемами, которые обычно отнимают слишком много времени.

Радость от того, что можешь освоить более точные инструменты и пользоваться ими, еще более углубляет интерес к изучению собственной математической «архитектуры» в новых тщательно отобранных учебным планом областях. После триумфа овладения плоскостью в десятом классе вполне объяснима попытка перенести геометрию на изогнутые поверхности. Практической целью обычно являются расчеты расстояний и площадей на глобусе, решение навигационных задач по звездам, проецирование глобуса или его части на плоскость, т. е. составление карты сферической области. Класс ставится здесь перед новой ситуацией и в случае составления карты осознает, что проецировать сферическую область на плоскость, сохраняя расстояния, вполне возможно. Примечательно, однако, что, например, морская карта является не проекцией сферической области, а тщательно рассчитанным изображением с сохранением углов, и поэтому хорошо подходит для нахождения правильного курса плавания в море.

К мотивам, способствующим развитию личности, относятся также вопросы, связанные с понятием бесконечности. Ввести в эту проблематику может изображение перспективы, а также знакомство с понятием предельных значений и с элементами теории множеств Георга Кантора. Есть ли на прямой ещё точки, кроме чисел? Как это прямая или кривая «состоит» из точек? Вопросы о «бесконечно больших» и «бесконечно малых» величинах восходят к парадоксу, сформулированному 2500 лет назад Зеноном.

В тесной связи с этой главой осваивается и углубляется понятие функции как инструмента причинно-следственного мышления, которое было разработано Галилеем, Ньютоном, Лейбницем и другими. В значительной степени обобщаются понятия скорости и ускорения; становятся возможными определения максимальных и минимальных значений, что позже в виде вариационного исчисления внесло свой вклад в нынешнее техническое совершенство.

Изучение понятия бесконечности и учения о функциях приводит к абстрагированию мышления по мере того, как проблемы удаляются от области чувственно-наглядного. Совершенно не исключено, что некоторым учащимся в этих разделах придется довольствоваться общей ориентацией и некими простыми основными понятиями. У других может появиться даже отвращение к этим х-у-z в уравнениях. Они смогут снова обрести интерес только благодаря конструктивным задачам, например, в такой важной области как проективная геометрия. Группа французских математиков (Понселе, Брианшон, Карно и другие ученики великого начертательного геометра Монжа) в начале XIX века увлекалась чисто геометрическими методами и настаивала на том, что с их помощью можно сделать намного больше, чем с помощью не наглядных уравнений аналитической геометрии. Карно хотел «освободить геометрию от иероглифов анализа».

Так в течение XIX века развивалась проективная геометрия. Она дает учителю отличный материал. Удивительно, почему общеобразовательные школы не включают ее в программу более широко. Проективная геометрия дает учащимся чрезвычайно хорошие возможности рассматривать различные проблемы и связи как образно, так и буквально под различными углами зрения. Наряду с обычной атомистической трактовкой, согласно которой плоскость или линия состоят из точек, проективная геометрия дает и обратный образ, рассматривая точку как несущую в себе плоскости или прямые. Плоскость и прямая, таким образом, равно как и точка, могут рассматриваться как первичные однородные элементы. Кто испытал на себе, что молодые люди любую ситуацию зачастую видят только в черно-белых тонах (причем глубоко в этом убеждены), должны видеть важную задачу школы в том, чтобы научить учеников вырабатывать образные суждения. Не в последнюю очередь благодаря рассмотрению проблем и вещей под самыми разными углами, а лучше всего с нескольких диаметрально противоположных точек зрения. Для этой цели великолепно подходит проективная геометрия, она дает интересное поле деятельности для всех учеников. Основы проективной геометрии заложил в XVII веке французский математик Дезарг. При этом он пытался решить проблемы, которые поставили перед ним художники, т.е. «профаны», искавшие методы строгого построения перспективы рисунка. «Наука, созданная Дезаргом, до сих пор является одной из красивейших областей математики, может быть, потому, что в свое время она вышла из лона искусства»,- пишет Моррис Клейн в своей работе «Математика в западной культуре».

Если мы хотим услышать и понять друг друга в нашей повседневной жизни, если мы стремимся к пониманию определенных результатов научного исследования, то мы должны уяснить себе и другим, какие основные представления лежат в основе нашей системы взглядов. В науке на переднем плане всегда стоит вопрос: какая аксиома или феномен положены в основу? Мы всегда стремимся к тому, чтобы как можно более объективно увидеть, что происходит в поле наших исследований, — будь то природный процесс, эксперимент, психологическое или историческое событие. В двенадцатом классе вальдорфской школы ученики получают обширные обзоры по разным предметам. В математике, например, мы видим, как при умелом выборе разных наборов аксиом возникают разные геометрии (эвклидова, неэвклидова, аналитическая, синтетическая и т. д.) или алгебры ("необычная" алгебра, булева алгебра, векторная алгебра и т. д.). Т.е. каждый исследователь выбирает адекватный инструмент. Можно сказать: дело выбирает проблему. Ученики знакомятся в этой связи с примерами того, как некая математическая работа долгое время рассматривалась всего лишь в качестве «литературы», и даже относилась к разряду курьезов, и вдруг доказывала свою незаменимость во многих областях (алгебра Буля для логического анализа, теории вероятностей и теории электрических сетей).

Перерастание пятиугольника в плоскость (12 класс).

Обобщая, можно сказать, что уроки математики состоят из упражняющих и ориентирующих моментов. Чем теснее и интимнее они будут связаны, тем активнее ученики будут участвовать в уроке. Долгие упражнения в чистом виде превращаются в мертвящие штудии, а ориентирование в чистом виде подавляет стремление к деятельности. Если речь идет о доказательствах и следствиях, то золотое правило гласит: переживаемое дает живую середину между убедительной, но педантично-сухой формой изложения и схематично-обзорным, но бес-контурным, ходом мыслей.

Параллельно с обучением и упражнением в чисто математической сфере, осуществляются экскурсы в область, позволяющую понять, как математические законы связаны с природой и прежде всего с человеком. Но наибольшую ценность математика как предмет представляет в том смысле, что она в большей мере, чем другие предметы, приводит обучаемого к чистому мышлению и к доверию этому мышлению, т. е. к такому мышлению, которое вырабатывается у нас благодаря деятельности, являющейся одновременно и субъективной и объективной.

Физика

Девятый класс

На уроках физики в шестом, седьмом и восьмом классе ученики изучали элементарные явления в области акустики, оптики, механики (включая гидростатику и аэромеханику) и познакомились с некоторыми их практическими применениями. В девятом классе речь идет уже о том, чтобы научиться понимать (как с помощью качественных обобщений, так и математических вычислений) определенные явления в области учения о теплоте и об электричестве настолько, чтобы можно было основательно разобраться в паровой машине, в двигателе внутреннего сгорания, в телефоне и в других основных изобретениях.

На примерах учения о теплоте наглядно покажем, как можно изучать физику в девятом классе. Закон Бойля о давлении и объеме газа должен в основном служить показу того, как можно выработать математический подход к материальным процессам. Вещество отнюдь не произвольно реагирует на воздействие тепла. Расширение, поглощение тепла, теплота плавления и испарения, точки кипения и замерзания, —это все удельные величины, относящиеся к разным веществам. При этом, например, температура плавления некоторых сплавов может оказаться ниже температуры плавления каждого из составляющих сплав металлов, что поначалу не укладывается в голове.

Умение удивляться таким природным процессам в этом возрасте особенно важно и плодотворно. Странно, что вода, это самое распространенное на земле вещество, является исключением в случае расширения при нагревании. Тот факт, что она имеет наибольшую плотность при 4 градусах, позволяет зимой в сильных холод предохранить жизнь в водоёмах от замерзания. Особо следует отметить свойство жидкостей кипеть при все более низких температурах с уменьшением давления. Кривую насыщенных паров различных веществ можно легко изобразить на диаграмме. С большим интересом мы открываем для себя, что все эти кривые исходят как бы из одной так называемой абсолютной нулевой точки, а кончаются также неожиданно в одной точке, — точке критического состояния вещества: здесь уже нельзя отличить газ от жидкости, теплота испарения равна нулю. Природа сама назначает для каждой жидкости точку, ниже которой она не превращается в газ, и точку, выше которой газ не может превратиться в жидкость.