Чтение онлайн

Чтобы закончить тему ландауского семинара на жизнерадостной ноте, процитирую описание следующего замечательного эпизода, получившего широкую огласку [«Физики шутят», 1968. С. 278]: «Когда Нильс Бор выступал в Физическом институте Академии Наук СССР, то на вопрос о том, как удалось ему создать первоклассную школу физиков, он ответил: “По-видимому, потому, что я никогда не стеснялся признаваться своим ученикам, что я дурак…” Переводивший речь Нильса Бора Е.М. Лифшиц донес эту фразу до аудитории в таком виде: “По-видимому, потому, что я никогда не стеснялся заявить своим ученикам, что они дураки…” Эта фраза вызвала оживление в аудитории, тогда Е.М. Лифшиц, переспросив Бора, поправился и извинился за случайную оговорку. Однако сидевший в зале П.Л. Капица глубокомысленно заметил, что это не случайная оговорка. Она фактически выражает принципиальное различие между школами Бора и Ландау, к которой принадлежит и Е.М. Лифшиц».

Лев Давидович Ландау отличался необыкновенной способностью, как он сам говорил, «тривиализовать проблему». Тривиализовать означает здесь найти наиболее простой способ объяснения, не отступая от истины. Он был врагом всякой туманности, многозначности, часто скрывающей некомпетентность, неумение или нежелание поискать более простых объяснений. Иллюстрацией может послужить поразительный ответ, который Ландау однажды дал на вопрос студента о том, является ли электрон корпускулой или волной: «Электрон — не корпускула и не волна. С моей точки зрения, он — уравнение, в том смысле, что лучше всего его свойства описываются уравнением квантовой механики, и прибегать к другим моделям — корпускулярной или волновой — нет никакой необходимости» [Рындина, 2004, № 5].

Следуя своему принципу тривиализации истины, Ландау считал, что нередко истины облекают в многослойные одежды, и получается, что «из-за леса дров не видно». Так, в частности, обстоит дело с преподаванием теоретической механики и математики в вузах СССР (в России ничего не изменилось). Хорошо известно, как Ландау переделал коренным образом курс «Механики», сделав ее первой частью теоретической физики. В конце 1950-х — начале 1960-х гг. Л.Д. Ландау вел этот курс на первом потоке третьекурсников физфака МГУ, тогда как на втором потоке номинально тот же курс вел доцент В.Петкевич. Курс последнего был нормально-стандартным, как в большинстве втузов страны. Курс Ландау — оригинальным, глубоко физичным (основанным на принципе наименьшего действия).

Но реформировать преподавание математики Л.Д. Ландау не успел. В этом кратком подразделе будут приведены основные соображения Ландау о том, как следует преподавать математику физикам в вузах. Добавлю от себя, что те же принципы можно относить и к преподаванию математики для всех других специальностей — по-видимому, кроме собственно математики (правда, я не слышал, чтобы Ландау как-то оговаривал особенности преподавания математики на мехмате).

Начну с единственного личного разговора, который Л.Д. Ландау вел со мной и который поэтому мне запомнился почти дословно. Однажды осенью 1959 г. Л.Д. Ландау вместе с Е.М. Лифшицем зашел к Зинаиде Ивановне Горобец домой. Мы тогда жили во дворе Института химической физики — менее, чем в километре от Института физпроблем и дома, где жил Ландау. Я учился на первом курсе физического факультета МГУ. Курс математического анализа у нас читал доцент Эдуард Генрихович Позняк. Читал монотонно и педантично, как машина, в основном следуя известному «тонкому» учебнику Фихтенгольца, но иногда забирался и в дебри Фихтенгольца «толстого» (курсы соответственно двух- и трехтомные; учебника В.А. Ильина и Э.Г. Позняка тогда еще не было). Некоторые студенты не понимали, зачем тратить время и сидеть на лекциях (а это строго контролировалось), если все можно прочесть в книгах «один к одному». От личного общения с лектором мы ничего дополнительного, «риторического», помогающего в усвоении глубокого материала, не получали. Мне было очень трудно. Многие (и я в том числе) не успевали за ходом изложения лектора, «отрывались» и по существу остальное время лекции расходовалось зря: все равно потом требовалось неспешно и тщательно работать с учебником. Помню также, что некоторые особо умные студенты брали в библиотеке «толстого Фихтенгольца», штудировали его, пренебрежительно относились к тем, кто считал, что можно обойтись «тонким». Не у кого было получить авторитетный совет.

В дни, когда происходил незабываемый разговор, Позняк читал лекции по теории пределов (с использованием известного языка «эпсилон-дельта», введенного Коши). Я впервые увидел Льва Давидовича так близко. Он был в светло-коричневом костюме со звездой Героя. Мне он казался каким-то сверхъестественным человеком, кем-то вроде волшебника. Ландау, улыбаясь, спросил, как у меня дела в университете. И я рассказал ему, что на днях доцент Позняк читал нам подряд две лекции по два часа каждая, на которых доказывал (и строго доказал) теорему Коши о пределе последовательности. Я спросил Ландау, действительно ли нужно вникать во все детали доказательства довольно очевидных вещей, и как вообще относиться к теории пределов. Ландау возмутился «тем, что, — по его словам, — продолжают творить математики», обращаясь скорее к Лифшицу, чем ко мне. Затем он сказал, обращаясь уже ко мне, примерно так: «Ничего этого не нужно. Нужно уметь находить пределы различных функций, для чего есть соответствующая техника. Нужно уметь дифференцировать и интегрировать любые функции и т. д. Естественно, нужно понимать сущность и целесообразность каждого действия. Математический формализм теории пределов и многое другое это — “математическая лирика”, интересная в основном самим математикам. Они тренируются в логических упражнениях и обожают наводить тень на плетень с помощью изощренной символики даже там, где все просто и очевидно. К физике это не имеет отношения. Я, — продолжал Ландау, — уже давно хочу написать учебник по высшей математики для физиков и техников. Возможно, я поговорю об этом с Петровским. [43] Значит, надо этим срочно заняться». Я потом многократно пересказывал сокурсникам этот свой единственный разговор с Ландау.

Много позже в печати были опубликованы «взгляды Ландау на математическое образование физиков…» в ответ на просьбу сообщить свое мнение о программах по математике в одном из физических вузов. Он проводит мысль о том, что эти программы должны составляться с полным учетом требований физических кафедр — тех, кто по своему повседневному опыту научной работы в физике знает, что для этой работы требуется. Он пишет:

«<…> к сожалению, Ваши программы страдают теми же недостатками, какими обычно страдают программы по математике, превращающие изучение математики физиками наполовину в утомительную трату времени. При всей важности математики для физиков физики, как известно, нуждаются в считающей аналитической математике; математики же, по непонятной для меня причине, подсовывают нам в качестве принудительного ассортимента логические упражнения. <…> Мне кажется, что давно пора обучать физиков тому, что они сами считают нужным для себя, а не спасать их души вопреки их собственному желанию. Мне не хочется дискутировать с достойной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных им вещей люди будто бы научаются логически мыслить.

Я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т. п. Поэтому я не буду останавливаться на многочисленных пунктах Вашей программы, резко противоречащих этой точке зрения. Сделаю только некоторые дополнительные замечания.

Векторный анализ расположен в программе между кратными интегралами. Я не имею чего-либо против такого сочетания, однако надеюсь, что оно не идет в ущерб крайне необходимому формальному знанию формул векторного анализа.

Программа по рядам особенно перегружена ненужными вещами, в которых тонут те немногие полезные сведения, которые совершенно необходимо знать о ряде и интеграле Фурье.

Курс так называемой математической физики я считал бы правильным сделать факультативным. Нельзя требовать от физиков-экспериментаторов умения владеть такими вещами…

Таким образом, я считаю, что преподавание математики нуждается в серьезнейшей реформе. Те, кто возьмется за это важное и трудное дело, заслужат искреннюю благодарность как уже готовых физиков, так и в особенности многочисленных будущих поколений».

За это дело взялся академик-физик Я.Б. Зельдович, который с помощью математиков А.М. Яглома и А.Д. Мышкиса создал превосходные учебники: «Высшая математика для начинающих физиков и техников» и «Элементы прикладной математики». Эти книги, кстати, не были признаны как учебники Министерством высшего образования, но стали очень популярны среди нематематиков. Однако они, к сожалению, мало используются студентами, которым их преподаватели рекомендуют в качестве обязательной литературы стандартные скучнейшие учебники. Известно, с какой энергией Зельдович «пробивал» издание этих книг, преодолевая ожесточенное сопротивление математиков, в первую очередь академика Л.И. Седова, председателя редакционно-издательского совета АН СССР, и его команды. И если бы не фантастический напор Зельдовича, его три звезды Героя и поддержка Президента АН СССР М.В. Келдыша, то вряд ли книги вышли бы в свет.

А вот как описывает взаимоотношения Ландау с математикой его давний ученик и друг (еще по Харькову) украинский академик Александр Ильич Ахиезер:

«Он прекрасно владел математическим анализом, но был в основном прагматиком и не интересовался глубокими математическими теориями. Он даже несколько бравировал, говоря, что знает математику потому, что решил все задачи из задачника “десяти мудрецов”. Иногда, правда, такая его “философия” нуждалась в сильных поправках. Например, ему явно не хватало его знаний в области теории групп. Это проявилось, когда он создавал свою теорию фазовых переходов второго рода. К счастью для него в то лето в Харьковском математическом институте, рядом с УФТИ, гостил крупнейший алгебраист Н.Г. Чеботарев. Они играли в теннис, и это общение сильно помогло Ландау разобраться в теории представлений групп, которая была ему необходима для создания теории фазовых переходов. Многие математические догадки Ландау были просто удивительны. Например, он сам дошел до преобразования Меллина и формулы суммирования Пуассона <закон распределения вероятностей редких событий>, не зная, что они давно уже известны. Преобразования Меллина ему понадобились для решения кинетических уравнений, введенных им в теории ливней. К формуле суммирования Пуассона он пришел, построив общую теорию эффекта де Гааза-Ван Альфена. Существенно, что каждая “догадка” всегда была уместной в развиваемой им теории. Но у Ландау были и свои странности. Он, например, не признавал аппарата теории вероятностей. Однажды был такой случай. В споре, касающемся значения теории вероятностей, И.М. Лифшиц всячески отстаивал значение этой науки. Ландау же всячески ее отрицал и говорил: “Я вам решу любую конкретную задачу из этой теории, не зная самой теории!” И.М. Лифшиц сказал:

“Ну хорошо, в таком случае решите следующую задачу: как найти функцию распределения по размерам частиц при их дроблении”. Ландау сказал: “Хорошо, подумаю”. Вечером того же дня Ландау позвонил к нам в номер гостиницы “Якорь”, в котором мы остановились с И.М. Лифшицем, и сообщил ему по телефону решение задачи. Решение было правильное».

А.И. Ахиезер продолжает: «Вообще Ландау очень любил математическую технику. Стоило ему сказать, что <…> встретился “хитрый” интеграл, и при этом еще его “подначить”, что “сомнительно, чтобы ты его смог взять!” — как он бросал дискутируемый физический вопрос и говорил: “Давай сюда интеграл!” И каждый раз быстро находил правильное решение» [Воспоминания…, 1988. С. 61]. А.И. Ахиезер описывает два следующих эпизода на обсуждаемую тему, которые будут небезынтересны для студентов вузов, изучающих высшую математику, и их преподавателей.